西北师范大学2021自命题考研大纲:泛函分析

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  泛函分析 考试大纲

  第一章 度量空间与线性赋范空间

  考试要点:

  度量空间的概念,例子;度量空间中的收敛性与连续性;稠密性;可分性;Cauchy列与度量空间的完备性;压缩映像原理及其应用;线性赋范空间的概念,例子;Banach空间的概念。

  考试内容:

  第一节 度量空间的概念与例子

  距离及度量空间的定义;例子(欧氏空间 ;连续函数空间 ;数列空间 等)。

  第二节 度量空间中的极限 稠密性 可分空间

  领域的概念;收敛点列;有界集;具体空间中收敛性的意义;稠密性与可分空间的概念;不可分空间的例子。

  第三节 连续映射

  映射连续性的各种定义及其等价性。

  第四节 Cauchy点列与完备度量空间

  度量空间中Cauchy点列的概念;完备度量空间的定义;完备度量空间与不完备度量空间的各类例子;度量空间闭子空间的完备性。

  第五节 度量空间的完备化

  等距同构;度量空间的完备化定理;

  第六节 压缩映像原理及其应用

  压缩映像的定义;压缩映像原理;在隐函数定理及常微分方程中的应用。

  第七节 线性空间

  本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容,故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。

  第八节 线性赋范空间和Banach空间

  范数,线性赋范空间和Banach空间的概念;依范数收敛; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间;有限维赋范空间的拓扑同构性。

  考核要求:

  掌握度量空间,线性赋范空间和Banach空间的概念和性质;掌握映射连续性,度量空间的完备性等概念;熟悉 空间, 空间, 空间, 空间, 空间,
空间;透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。

  第二章 线性有界算子和线性连续泛函

  考试要点:

  线性有界算子,线性连续泛函,线性算子空间,共轭空间。

  考试内容:

  第一节 线性有界算子与线性连续泛函

  线性有界算子与线性连续泛函的概念,例子,有界与连续的等价性,线性有界算子零空间的性质,算子范数。

  第二节 线性算子空间和共轭空间

  线性算子空间的结构及其完备性,共轭空间,保距算子,同构映照,同构,一些具体空间的共轭空间。

  考核要求:

  掌握线性有界算子,线性连续泛函,有界性,连续性,算子范数,共轭空间,保距算子,同构映照,同构等基本概念;掌握有界与连续的等价性定理,基本定理;能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。

  第三章 内积空间和Hilbert空间

  考试要点:

  内积空间,投影定理,Hilbert空间,就范直交系,Hilbert空间上线性连续泛函的表示。

  考试内容:

  第一节 内积空间的基本概念

  内积空间与Hilbert空间的定义,平行四边形公式,内积空间的判定。

  第二节 投影定理

  点到集合的距离,凸集,极小化向量定理,集合的正交,Hilbert空间的正交分解,投影算子及其性质。

  第三节 Hilbert空间中的就范直交系

  就范直交系,Fourier系数集,Bessel不等式,Parseval恒等式,完全就范直交系的定义与判定,
Fourier展式,Gram-Schmidt正交化过程,Hilbert空间的同构。

  第四节 Hilbert空间上的线性连续泛函

  Riesz表示定理,共轭算子及其性质。

  第五节 自伴算子、 酉算子和正常算子

  自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。

  考核要求:

  掌握内积空间,Hilbert空间,平行四边形公式,就范直交系,Bessel不等式,Parseval恒等式,Fourier展式,投影算子,共轭算子,自伴算子,酉算子和正常算子等基本概念;掌握极小化向量定理,投影定理,完全就范直交系的判定定理,
Riesz表示定理等基本定理的内容与证明;能独立解答基本的习题。

  第四章 Banach空间中的基本定理

  考试要点:

  Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,线性赋范空间中的共轭算子,

  第一节 泛函延拓定理

  次线性泛函,Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。

  第二节 的共轭空间、Riesz表示定理

  第三节 共轭算子

  第四节 线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。

  第五节 纲定理和一致有界性定理

  第一纲集,第二纲集,Baire纲定理, 一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛

  强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义,例子,相互关系,强收敛的充要条件。

  第六节 逆算子定理

  逆算子定理及其证明。

  第七节 闭图象定理

  线性算子的图象,闭算子,闭图象定理。

  考核要求:

  掌握本章涉及到的所有基本概念,基本定理;由于Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,Baire纲定理,逆算子定理,闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分,要求熟练掌握这些内容;能独立解答基本的习题。

  第五章 线性算子的谱

  考试要点:

  简要介绍线性算子的谱的概念,基本性质。

  谱的概念

  正则算子,正则点,正则集,谱点,特征值,特征向量,点谱,连续谱,例子。

  第一节 线性有界算子谱的基本性质

  谱集的闭性。

  考核要求:

  了解线性算子的谱的概念,基本性质。

  三、参考书目

  1、 程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社, 1983, 第一版。

  2、 王声望, 郑维行,《实变函数与泛函分析概要》,第二册,高等教育出版社,1992,第二版。

  3、 夏道行等,《实变函数论与泛函分析》,下册,高等教育出版社, 1985,第二版。

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西北师范大学2021自命题考研大纲:861材料科学基础

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